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2.电子设备可靠性的数学描述在可靠性的定量测定方面，使用广泛的是统计方法，概率论和数学统计学是研究可靠性问题的主要工具。概率论能确定影响可靠性的可变随机变数的大数与可靠性数量特征之间的相互关系。因此，可靠性理论的许多概念与概率论中所用的概念有关。概率论能研究普遍现象，多次试验时重复的现象称为普遍现象。如果在多次试验时，每一次试验必然发生某一事件，则该事件称为必然事件。如果某一事件明知不会发生，则称为不可能事件。在每一次单独试验中不可能预言的事件称为随机事件。除随机事件之外，概率论还研究随机变数及随机过程（随机函数）。由于试验的结果可取某一值的变数，如产品尺寸与其额定值的误差，焊点失效前的工作时间等，因而称为随机变数。与某些非随机变数的不同值相符的随机变数的集合，如焊接温度的起伏等，称为随机过程或随机函数。准确地预言随机变数、随机过程及随机事件是不可能的。但是，如果研究的不是每一个随机事件、随机变数或随机过程，而是它们的集合，则可用数学方法来说明其特征。假设做N次试验时，某一事件A出现K次，这时，K/N的比例称为随机事件A的频率并以W（A）表示，即W（A）=K/N当试验次数增多后，事件A出现的频率就显得较稳定，即在相同条件下进行多次试验时，事件的频率近似于P，即P（A）=K/N （1）P（A）称为事件A的概率并写成P=P（A） （2）从式（1）和式（2）可看出，做N次试验时，事件A约发生NP次，而不发生N（1-P）次。显然，随机事件的概率在数量上符合条件0≤P≤1如果A是不可能事件，则P=0；如果A是必然事件，则P=1。对于随机事件，研究计算概率的基本法则是：（1）如果事件A1，A2，…，An是不相容的，则P（ A1+A2+…+An ）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）（2）对立事件?的概率可表示为P（?）=1-P（A）（3）几个独立事件联合发生的概率等于这些事件的概率之积，即
电子设备可靠性的基本概念
（4）如果事件A和B不是对立和独立的，即如果A和B是任何随机事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）- P（AB）；P（AB）=P（A）PA（B）式中 PA（B）——在发生事件A的条件下，事件B出现的概率。随机变数往往是离散的或连续的，它可用概率分布函数来说明。设ζ为一随机变数，取小于某个x的值，有P（ζ＜x）=F（x）这一事件的概率称为概率分布的积分函数或随机变量的概率分布定律。如果其导数存在，则该函数的导数为F（x）=F'（x）称为随机变量的概率分布函数或密度。随机变量与概率分布函数一样，可用下列数量分布特征来说明。（1）随机变量ζ的平均值或数学期望：
（2）随机变量值的平均算术值或数学期望：
（3）随机变量的随机（平均）值b，即其值在区间（-b＜ζ＜b）内，存在于区间内的概率等于0.5。b值由下式计算。
（4）随机变量ζ的平方平均值：
（5）随机变量的方差：单个链的强度（或寿命）为一随机变量，设各环强度（或寿命）相互独立，分布相同，则求链强度（或寿命）的概率分布就变成求极小值分布问题，由此给出威布尔分布函数。由于零件或结构的疲劳强度（或寿命）也应取决于其弱环的强度（或寿命），因此，也应能用威布尔分布描述。根据1943年原苏联学者格涅坚科的研究结果，不管随机变量的原始分布如何，它的极小值的渐近分布只能有3种，而威布尔分布就是第Ⅲ种极小值分布。由于威布尔分布是根据弱环节模型或串联模型得到的，它能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具有递增的失效率。所以，将它作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。在概率论的随机过程中，如果概率分布函数不取决于时间读数的开始，则随机过程称为平稳随机过程。对于平稳随机过程来说，在对许多系统观察而得的ξ时间平均值相等。三、可靠性的数量特征可靠性的数量特征具有随机性质。利用它，就能判断出设备系统的可靠性。这些数量特征其用途各不相同。一部分特征只能评估一些普通元器件的可靠性，如电阻器、电容器、半导体器件等，也就是说这些普通元器件是不进行修理的，且发生故障后就不再用了。而另一部分数量特征则可用于评估作为普通元器件的总和的复杂设备系统的可靠性，这种设备系统的任何故障都可以排除，排除故障后仍可使用。我们把具体的元器件、组件、机械装置、仪器仪表和系统的可靠性准则的数值统称为可靠性数量特征。设备系统的可靠性取决于设备系统中的元器件的数量和质量，取决于元器件的工作规范，取决于电路和结构设计方案。设备系统中所用元器件通常是按较复杂的工艺流程制造的。因此，其使用寿命及参数就有偏差。由此可得出结论，两个相同的设备样品其可靠性也是不一样的，故只能对在试验时和使用过程中获得的大量数据运用统计学的方法，对其做出数量上的评估。因此，概率论就是在计算可靠性特性时使用的一种数学工具。因而，可靠性的数量特性应具有概率性质。可靠性的评价可以使用概率指标或时间指标，这些指标有：可靠度、失效率、平均无故障工作时间、平均失效前时间和有效度等。1.可靠度R或可靠度函数R（t）产品的可靠度是指产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率。假设N个产品从时刻“0”开始工作，到时刻t失效的总个数为n（t），当N足够大时，有R（t）=[N-n（t）]/N=N（t）/N （3）式中，N（t）表示到t时刻仍在正常工作的产品数，R（t）称为残存率。2.失效概率F或累积失效概率F（t）失效概率F是表征产品在规定条件下和规定时间内，丧失规定功能的概率，也称为不可靠度。它也是时间t的函数，记做F（t），显然F（t）≈n（t）/N （4）将式（3）与式（4）相加可得R（t）+F（t）=[N-n（t）]/N+n（t）/N=1显然R（t）、F（t）为互为对立事件。3.失效概率密度或失效概率密度函数f（t）失效概率密度表示失效概率分布的密集程度，或者说是累积失效概率函数F（t）的变化率。当Δt足够小时，则可近似地表示为f（t）≈ [F（t+Δt）-F（t）]/Δt由式（4）可得f（t）≈ [n（t+Δt）/N-n（t）/N]/Δt=n（Δt）/NΔt （5）n（Δt）表示在（t，t+Δt）时间间隔内失效的产品数。4.平均寿命μ不管哪类产品，平均寿命在理论上的意义是类似的，其数学表达式也是一致的。假设被试产品数为N，产品的寿命分别为t1，t2，…，tn，n为在t时间内的故障数，则它们的平均寿命为各寿命的平均值，即
一般说来，电子元器件的平均寿命越长，在短时间内工作的可靠性越高。但是，可靠性与寿命虽然密切相关，但又不是同一个概念，不能混为一谈。不能认为可靠性高，寿命就长；也不能认为寿命长，可靠性就必然高，这与使用要求有关。通常所指的高可靠性，是指产品完成要求任务的把握性特别高；而长寿命，是指产品可以很长时间工作而性能良好。如海、地缆线通信设备所用元器件要求使用20年而性能良好，体现了长寿命；而导弹工作时间不一定长，但工作时间内（几秒、几分或半小时）要求高度可靠，万无一失，这就体现为高可靠性。平均寿命μ对不可修复或不值得修复的产品和可修复的产品有不同的含义。（1）MTTF。对于不可修复的产品，其寿命是指产品发生失效前的工作时间或工作次数。因此，平均寿命是指产品在丧失规定功能前的平均工作时间，通常记做MTTF（Mean TiMe To Failure），单位为“小时”。（2）MTBF。对可修复的产品，寿命是指两次相邻故障间的工作时间，而不是指产品的报废时间。因此，对这类产品的平均寿命是指平均无故障工作时间，或称平均故障间隔时间，也即产品在总的使用阶段累计工作时间与故障次数的比值，记做MTBF（Mean Time Between Failures）。它是衡量一个产品的可靠性指标（仅用于发生故障经修理或更换零件能继续工作的设备或系统），单位为“小时”。就MBTF本身而言，是关系着广大消费者的稳定性指数。MTBF值越高，表示设备系统的稳定性越好。例如，每天工作三班的公司如果要求24h连续运转，无故障率P（t）在99%以上，则单台设备系统的MTBF必须大于4500h。而对由多种和不同数量的设备系统构成的生产线要求就更高、更复杂了。其实，我们不必关注MTBF值如何计算，只要知道选择MTBF值高的产品，将给我们带来更高的竞争力。当然，也不是MTBF值越高越好，可靠性要求越高的设备系统成本也越高，根据实际需要选择适度可靠就行了。5.失效率λ（t）所谓失效率，可理解为在单位时间内发生故障的产品数与在该时间段内正确工作的产品平均数之比。显然失效率也是时间t的函数，记做λ（t），故也称为失效率函数。因此，可以按下式计算失效率λ （t）。
式中 n（t）——在t～t+Δt时间段内发生故障的产品数；Δt——时间间隔；N（t）——在Δt时间间隔内正确工作的产品平均数?。由各种电子元器件组成的电子设备系统的λ（t）曲线，随着时间的推移，形成类似“浴盆”形状，故称为“浴盆曲线”，如图3所示。典型的失效率曲线是“浴盆曲线”，其沿时间轴方向大致可划分为3个阶段，即早期失效期、偶发失效期和耗损失效期。