福建省网络文化经营许可证的办理部门是福建省文化和旅游厅（或文化市场行政管理局）。具体办理流程如下：
1. 准备材料：申请表、申请人身份证明、企业法人身份证明、企业营业执照、网站备案号、网站管理人员身份证明、网站名称、网站域名、网站内容等。
2. 在线申请：将准备好的材料扫描并上传至福建省文化和旅游厅（或文化市场行政管理局）的****，在线填写申请表，并提交申请。
3. 现场审核：提交申请后，需要到相关部门进行现场审核，核实申请人身份、经营范围、网站内容等情况。
4. 审核结果：审核通过后，文化和旅游厅（或文化市场行政管理局）会颁发网络文化经营许可证。
需要注意的是，申请福建省网络文化经营许可证需要符合相关法规和规定，且申请过程可能会比较繁琐，建议您找专业的代办公司帮助办理。