长沙单位持有广播电视节目制作经营许可证可以开展以下业务：

广播电视节目制作：单位可以制作广播电视节目，包括新闻、综艺、剧集、纪录片、广告等各类节目内容。

广播电视节目发行：单位可以将制作的节目进行发行，包括通过广播电视台、网络平台、电视台频道等渠道进行播放。

广播电视节目销售：单位可以将制作的节目进行销售，包括将节目内容授权给其他电视台、广告代理商等进行播放或推广。

广播电视节目代理：单位可以代理其他制作单位的节目，在广播电视台、网络平台等渠道进行播放。

广告代理：单位可以代理广告业务，为广告主提供广告策划、制作、发布等服务。

广播电视节目咨询：单位可以提供广播电视节目相关的咨询服务，包括节目策划、制作流程、版权管理等方面的咨询。

申请广播电视节目制作经营许可证的具体步骤如下：

准备申请材料：根据当地广播电视管理部门的要求，准备好申请所需的各类材料，包括单位基本情况材料、节目制作人员材料、节目制作设备材料、节目制作计划材料等。

填写申请表格：根据当地广播电视管理部门的要求，填写申请表格，并附上所有的申请材料。

递交申请材料：将填写完整的申请表格和申请材料递交给当地广播电视管理部门，通常是广播电视局或广播电视行政管理部门。

审核和审批：广播电视管理部门会对申请材料进行审核，核实材料的真实性和合法性。如果申请材料符合要求，广播电视管理部门会进行审批，并颁发广播电视节目制作经营许可证。

缴纳费用：根据当地规定，申请人需要缴纳相关的申请费用。

领取许可证：经过审批后，申请人可以到广播电视管理部门领取广播电视节目制作经营许可证。

请注意，具体的申请流程和要求可能会因地区而异，建议您在申请前咨询当地广播电视管理部门，了解详细的申请流程和要求。