西门子6ES7214-1AF40-0XB0
莫尔圆表明切应力的大值与处于拉伸状态的主应力的大值是相等的，并且与梁的中性轴成45°方向。应变计是测量主应力产生的应变，因此应变计也同样应与中性轴成45°，如图6所示。此图同样表明一个没有载荷作用的平面部分正方形单元，当有载荷作用时正方形会变成菱形，使得一个应变计处于拉伸状态，而另一个应变计处于压缩状态。请注意应力是双轴的，其处于拉伸状态的主应力的轴向应变值不但与St成正比，而且随泊松比μSc而增加：
式中：e1—应变计1的测量应变。
—单轴向范围内的基准应变，
=S/Em。
μ—泊松比。
电桥各桥臂上的应变计承受同样的应变值，所以利用电桥总应变公式，可写为：
因为
所以 N=4（1+μ）
泊斯特（Purest）会议有学者认为这是不符合规则的，因为e1｀并没有真实的存在，但是它确实提供了正确的答案，并在N值计算中有它是很方便的。用于计算所要求的可以提供所需输出的应变算公式（6）可变为：
计算出所要求的单轴应变e1｀后，应力通过公式（9）获得，即
能否准确计算出称重传感器上的应力，因切应力的种类和弹性体的结构不同而产生很大的差异。例如，一个承受纯剪切应力状态的扭转轴，其切应力计算可由下面典型的公式得出：
式中：Ss—切应力（与主应力的大值相等）。
T—轴上的扭矩。
r—轴的半径。
J—横截面极惯性矩。
另一方面，直接利用剪切载荷准确的确定称重传感器上的切应力是极为困难的。对于剪切型轴销式称重传感器更是如此，下面列举了一些不够**的原因：
（A）应变计是通过其栅长测量的是应变区的平均应变。如果在应变区内切应力的变化曲线非常陡，且应变计尺寸非常大，所测量的应变值就会比峰值小。
（B）大切应力只用了直接作用于其上的大剪切载荷的一部分。公式假设剪切载荷在一个已知的面积内，从底部到顶部较均匀分布，且切应力大值均匀分布在中性轴上。
（C）称重传感器上的载荷分布还应与安装接头的影响相吻合，如剪切型轴销式称重传感器，其载荷分布取决于轴销与安装接头两者之间的公差，所受载荷由于安装间隙不同而异。
我们将讨论三种切应力称重传感器。准确计算为保证所需输出的弹性体尺寸，与以前所用的程序完全一样。首**行粗略计算，后给出准确结果。切应力称重传感器尺寸大小的计算准确率，不如圆柱、弯曲和扭转型称重传感器。
工字形截面切应力称重传感器
普通的用于计算切应力的公式为：
式中：Sa—平均切应力。
V—剪切载荷。
A—受剪部分的截面积。
这个公式可以用来计算破坏载荷，但不能给出弹性体粘贴应变计处中性轴上切应力的大值。对于切应力的大值的计算公式，应随着受剪截面的形状不同而变化。
图7 S形剪切式称重传感器
图7是另一个S形称重传感器简图，除了利用剪切应力代替弯曲应力外，其它均无变化。图中A-A截面对于两个轴都是对称的，从侧面角度看呈现两倍的尺寸关系。应变计粘贴在工字形截面的腹板上，其截面尺寸为b、c、d、f和t。根据上述给定的尺寸，按计算程序计算出腹板的厚度t。
下列中性轴切应力Ss大值计算公式，引自参考文献[1]第91页公式（2），即
式中：V—剪力。
t—腹板厚度。
A′—中性轴以上横截面面积。
Z′—从中性轴到面积A′形心的距离。
A′Z′=A1Z1+A2Z2
A1Z1—中性轴以上翼缘面积乘以中性轴到翼缘形心的距离，依照图7，A1Z1＝fb（d+f/2）。
A2Z2—中性轴以上腹板的面积乘以中性轴到腹板形心的距离，A2Z2＝td×（d／2）。
J—中性轴以上截面的惯性矩
例如图7中的称重传感器，假设所需的输出是3.0mv/v，弹性体由17—4PH不锈钢制成，Em=29.1×106磅/英寸2，μ=0.29，利用公式（6）、（9）及N=4（1+μ），求得应力为33800磅/英寸2，其中E0/Ei=3.0mv/m，Gf=2.0，假设所给的载荷及尺寸如下：
P=V=15000磅，d=0.80英寸，f=0.20英寸，c=1.00英寸，b=1.50英寸。把这些数值代入公式（14），即可得到一个有关t的二次方程式，解此方程求得t=0.273英寸。
为确定强度，还需要其它尺寸大小，例如确定承受载荷螺纹的允许直径，符合螺纹外径要求的宽度b一定要足够大等。图中A-A部分的箭头指向是高弯曲应力与拉伸应力合二为一的结合面，必须具有足够大的强度才能安全的承受载荷。粘贴有应变计的腹板两侧的盲孔部分可以是方形、矩形，也可以是圆形使得加工简单。据估计称重传感器任意部分的应力都比应变计处的应力小。
工字形截面切应力称重传感器的误差来源
依照惯例，当计算工字梁的应力时，假设腹板承受所有载荷。如果我们采用这种方法，那么将利用平均应力Sα=V/A的计算公式来确定腹板的厚度。采用上面的例子，承受载荷的腹板截面面积是A=2ct，又因为A=V/Sα，则腹板厚度t计算如下：
此值比通过公式（14）得出的t值小18%，尽管公式（14）略显繁琐，但对于不同的截面形状，它的计算是比较准确的。
轮辐式称重传感器
图8是一个轮辐式称重传感器简图，这种设计是为了生产高准确度的称重传感器。
图8 轮辐式称重传感器
粘贴应变计的轮辐是一个矩形截面梁，通常高度h比宽度b长一些。把公式（14）应用于矩形截面见参考文献[1]第92页公式（3），得出切应力计算公式如下：
式中：V—剪力，V=P/4。
a—形状系数。
A—矩形截面的面积，A=bh。
轮辐式称重传感器的误差来源
参考文献[1]指出，对于矩形截面其形状系数a=3/2，但是如前所述终的输出是几个因素共同作用形成的。比较截面的高度，及截面的宽度与高度比，我的经验是a随着应变计的尺寸变化而变化。现举例说明，一个200000磅的称重传感器，截面高度h为2.386英寸，宽度b为1.172英寸。这么大的高度解决了通过应变计基长测量平均应变的问题，因为应变计基长只有1/8英寸。形状系数a为1.25，并不是参考文献[1]中所述的1.50，表1给出了a的数值。
表1 形状系数a值
建议设计者形状系数好选取1.25，组装一台称重传感器样件，校准所需要的截面面积。一旦在样件上建立了准确的计算模型，调整截面的宽度，就可以求得所需要的输出值，然后再组装一台称重传感器样件，并进行校核以确定终输出。
图8给出了8片应变计的情况，应变计1A和1B串联，作为图1中的应变计1；应变计2A和2B串联作为图1中的应变计2，如此等等，这种联结组桥方式提供了**的称重传感器。但是采用4片应变计的称重传感器价格会低一些，只是准确度为中等水平。4片应变计可粘贴在图8中1A、1B、3A和3B的位置上。购买的应变计应具有与中性轴成45°或135°的敏感栅，选择一个具有适当方向敏感栅的应变计是非常重要的。参考图6确定应变计的粘贴位置，使2片应变计处于拉伸状态，而另外2片应变计处于压缩状态。
较大量程的轮辐式称重传感器，例如容量超过200000磅（90718kg）时，会出现较大的滞后误差。这已形成了理论，即滞后误差是在泊松比作用下，在轮辐受载过程中轮箍底部产生向外移动的力，从而形成力矩。由于存在摩擦力，轮箍移出时的力矩与移回时的力矩是不同的，因而产生滞后。处于压缩状态的大型柱式称重传感器不会出现滞后现象，所以，既然大多数用户都希望轮辐式称重传感器的设计会提供**的结果，那么轮辐式称重传感器的大容量好限定为200000磅之内。
轴销剪切式称重传感器
图9是在一个吊环内装有轴销剪切式称重传感器的简图，这个组合表明切应力称重传感器应用的多样性和广泛性。本文展示的这台轴销剪切式称重传感器取自生产厂家的产品目录，见参考文献[4]。
1．承载卷筒，2. 挂钩或吊链，3. U形吊环，
4. 剪切轴销，5. 凹陷部分连线插头
图9 轴销剪切式称重传感器
应变计粘贴在轴销上的直径d为1/8英寸到1/2英寸的圆孔内，并处于有凹槽的位置上。应变计的粘贴位置必须准确，这项工作应该由一名熟练的机械师利用特殊的工具完成。
参考文献[5]详尽的讨论了轴销剪切式称重传感器，如果对制造类似的称重传感器有兴趣，建议读者重新读一下那篇文章。计算轴销上切应力的公式选自参考文献[1]，在参考文献[5]中也给出了计算公式。此作者的研究展示了初始原型的真实应力，它与计算公式有着非常大的差异。例如需要为所计算的弹性体提供1.0mv/v的输出时，那么直径小的轴销切应力大约是11500磅/英寸2，而要求弹性体提供相同的输出时，直径大的轴销切应力却是7500磅/英寸2。称重传感器的输出受很多因素影响，比如说穿过中心孔的直径d，凹槽的直径D，轴销与支撑之间的间隙，支撑的硬度，应变计的尺寸等。可以被利用计算轴销剪切式称重传感器输出的好公式是（15）式，其中形状系数a在1.5到2.0之间变化。
表1列举了经试验得出的a的一些数值，凹槽直径D从1.0到3.0之间变化，轴销是钢制的，称重传感器的输出灵敏度为2.0mv/v，而中间孔的直径d为0.50英寸。
轴销剪切式称重传感器的误差来源及设计建议
参考文献[5]指出“当几何形状没有问题时，传统的称重传感器要优于轴销剪切式称重传感器”。轴销剪切式称重传感器在具体应用中，有很多误差来源，归纳起来主要有：
（A）为了具有好的重复性和小的滞后误差，轴销剪切式称重传感器的输出灵敏度应设计为1.00mv/v，所以当轴销受载时，不会因椭圆变形在轴销中引起较大的弯曲应力，这就增加了安全载荷和疲劳寿命。
（B）轴销的凹槽必须是应变计敏感栅宽度的2倍。但是，如果凹槽过宽，当轴销受载时就会产生较大的弯曲应力而引起误差，同时也降低了安全载荷。参考文献[5]提供了有关凹槽宽度的设计建议。
（C）轴销与支撑之间的间隙应尽量小一些，以减少弯曲变形。当轴销的直径为1.0英寸时，大间隙为0.004英寸；当直径为4.0英寸时，大间隙为0.007英寸。如图9中吊环式称重传感器的情况，要求吊环为轴销提供紧密的配合。
（D）支撑应具有足够的刚度来抵抗弯曲变形，越刚硬越好。测试与校准轴销时，应该与实际安装使用时是同一个支撑。
（E）在使用寿命内，如果轴销需要承受冲击载荷或许多循环载荷时，凹槽就需要有足够大的半径。另外，如果轴销要在很冷的天气（0°以下）工作并承受冲击载荷时，就不要选用较脆的钢种如17-4PH来制造轴销。
（F）与轮辐式称重传感器相似，大型轴销剪切式称重传感器（200000磅或更高）会出现滞后误差。一个二百万磅的轴销剪切式称重传感器的滞后误差大约是1.0%到3.0%，为了减小（并不是消除）这一误差，所有大型切应力称重传感器都应该将输出灵敏度限制在1.00mv/v之内。
（G）如果公式（15）被应用于实心轴销剪切式称重传感器时，形状系数a是一个常数4/3或是1.33，这个公式假设大切应力均匀分布在轴销的中性轴上。
（H）由四只称重传感器组装的承载器，每个称重传感器必须具有相同的输出灵敏度。如果一只称重传感器的输出灵敏度是3.0mv/v其它几只的输出灵敏度也应该是3.0mv/v。如果不具备这一特点，任何一个偏于承载器的载荷都会得到不同的测量结果。一个轴销就是一台电子衡器，由两个称重传感器并联组成（每个槽内有一只称重传感器），如果输出灵敏度不同，测量结果就会随着偏心载荷的不同而变化。图8中的中心通孔就是用来把外载荷集中于称重传感器中心而设计的。
结语
本篇论文是基于对称重传感器设计者能有所帮助而写的，它提供了一些公式，这些公式可用于计算称重传感器上的某个尺寸的大小，并提供所需要的其它计算结果。它同样介绍了用于计算圆柱式结构称重传感器输出的公式（通常被用于航空工业）。
本篇论文全面介绍了称重传感器的误差来源和设计建议。但是应该强调的是影响称重传感器个样件输出的尺寸计算误差，应该在生产第二个样件前对这一尺寸进行更正。
本篇论文中的电桥电路（图1）并没有串入温度补偿电阻。例如应变计的灵敏系数、绝大多数材料的弹性模量都随着温度的变化而变化，所以称重传感器的输出灵敏度也随着变化，这个误差在商用称重传感器中通常是被补偿的。在商用称重传感器中电桥串联了温度补偿电阻，当温度变化时，补偿电阻会进行补偿。如果称重传感器串入了灵敏度温度补偿电阻，对于一个给定的输入电压，输出一定是一个符合要求的标准值。考虑到补偿电阻将减少输出值，所以设计的电桥输出值一定要比标准值高。表2是本篇论文所介绍公式的总结。
表2 称重传感器计算公式
注释1、在全部公式中假设应力是单向的并且符合虎克定律，或者是应用公式将应力转换为应变或是相反将应变转换为应力，即S=eEm或e=S/Em。
注释2、为了得到需要求得的尺寸重新整理了公式。
注释3、用在公式（5）中代入N的方法求得输出值。